计算机数据中的原码、反码和补码

July 9, 2020 · IT技术向 · 73次阅读

1 机器数和真值

1.1 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。

机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1

比如,十进制中的数 +3,计算机字长为8位,转换成二进制就是 0000 0011。如果是 -3,就是 1000 0011。那么,这里的 0000 00111000 0011 就是机器数。

1.2 真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值不等于真正的数值

例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,真正的数值是 -3 而不是形式值 131(1000 0011 转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:
0000 0001的真值 = +000 0001 = +1
1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

2 原码、反码、补码的基础概念和计算方法

对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储。原码、反码和补码是机器存储具体数字的编码方式。

2.1 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值,是人脑最容易理解和计算的表示方式。比如8位二进制:

+1 = 0000 0001
-1 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127,127]

2.2 反码

正数的反码是其本身;负数的反码是在原码的基础上,符号位不变,其余各位取反

+1 = 0000 0001原 = 0000 0001
-1 = 1000 0001原 = 1111 1110

由此可见,如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值,通常要将其转换成原码再计算。

2.3 补码

正数的补码就是其本身;负数的补码是在原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1(即反码+1)

+1 = 0000 0001原 = 0000 0001反 = 0000 0001
-1 = 1000 0001原 = 1111 1110反 = 1111 1111

对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的,通常也需要转换成原码再计算数值。

3 为何要使用原码、反码和补码

我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

+1 = 0000 0001原 = 0000 0001反 = 0000 0001

所以不需要过多解释。但是对于负数:

-1 = 1000 0001原 = 1111 1110反 = 1111 1111

可见原码、反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?

因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减。但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单,计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂。于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。

我们知道,根据运算法则,减去一个正数等于加上一个负数,即:1 - 1 = 1 + (-1) = 0,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法。首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原 = 1000 0010原 = -2

如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题,出现了反码:

计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原 = 0000 0001反 + 1111 1110反 = 1111 1111反 = 1000 0000原 = -0

可以发现:用反码计算减法,结果的真值部分是正确的,而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的,而且会有 0000 0000原和 1000 0000原两个编码表示0。

于是补码的出现,解决了 0 的符号以及两个编码的问题:

1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原 = 0000 0001补 + 1111 1111补 = 0000 0000补=0000 0000

这样 0 用 0000 0000 表示, 而以前出现问题的 -0 则不存在了,而且可以用 1000 0000 表示 -128:

(-1) + (-127) = 1000 0001原 + 1111 1111原 = 1111 1111补 + 1000 0001补 = 1000 0000

-1-127 的结果应该是 -128,在用补码运算的结果中,1000 0000补就是 -128。但是因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128,所以 -128 并没有原码和反码表示(对 -128 的补码形式 1000 0000补算出来的原码是 0000 0000原,这是不正确的)。

使用补码,不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数,这就是为什么 8 位二进制使用原码或反码表示的范围为 [-127,+127],而使用补码表示的范围为 [-128,127]。

因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型,可以表示范围是 [-231,231-1](第一位表示的是符号位,而使用补码表示时又可以多保存一个最小值)。

参考资料

  1. 原码、反码、补码知识详细讲解 https://blog.csdn.net/zl10086111/article/details/80907428
  2. 原码、反码、补码,计算机中负数的表示 https://zhuanlan.zhihu.com/p/47719434

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