负数为什么要用补码表示

July 11, 2020 · IT技术向 · 103次阅读

负数在计算机中是以补码方式进行存储和表示的。但是为什么呢?

1 概念引入

要想理解“补码”,首先得理解算术中“模”的概念。

1.1 模

“模”是指一个计量系统的计数范围,如过去计量粮食用的斗、时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范围,即都存在一个“模”。
如:时钟的计量范围是0~11,模就是12。32位计算机的计量范围是2^32,模就是2^32。

“模”是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的余数。以时钟为例,12的余数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

“模”可以说就是一个太极,阴阳转化,周而复始,无始无终,循环往复。

1.2 补数

假设当前时针指向11点,而准确时间是8点,调整时间可有以下两种拨法:

  • 倒拨3小时:11 - 3 = 8
  • 顺拨9小时:11 + 9 = 12 + 8 = 8

因此,在以模为12的系统中,加9和减3效果是一样的,即对“模”12而言,9和3互为补数(二者相加等于模)。

所以我们可以得出一个结论:在有模的计量系统中,减一个数等于加上它的补数,从而实现将减法运算转化为加法运算的目的。

2 补码原理

计算机上的补码就是算术里的补数。

设我们有一个 4 位的计算机,则其计量范围即模是2^4 = 16,所以其能够表示的范围是0~15,现在以计算 5 - 3 为例,我们知道在计算机中,加法器实现最简单,所以很多运算最终都要转为加法运算,因此 5-3 就要转化为加法:

按以上理论,减一个数等于加上它的补数,根据算术运算单元将减法转化为加法
5 - 3

等价于
5 + (16 - 3)

用二进制表示则为
0101 + (10000 - 0011)

等价于
0101 + ((1 + 1111) - 0011)

等价于
0101 + (1 + (1111 - 0011))

等价于
0101 + (1 + 1100)
括号内是3(0011)的反码+1,正是补码的定义

等价于
0101 + 1101

所以从这里可以得到
-3 = 1101
即 -3 在计算机中的二进制表示为 1101,正是 -3 的正值 3(0011)的补码(1101)。

最后一步 0101 + 1101 等于
10010

已知计算机是 4 位的,所以第一位“溢出”了,数据只保存了 4 位,即 0010,这正是我们所期望的 2(十进制)。

参考资料

  1. 补码 https://baike.baidu.com/item/%E8%A1%A5%E7%A0%81
  2. 补码原理——负数为什么要用补码表示 https://blog.csdn.net/leonliu06/article/details/78685197

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